Четырёхугольник - многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру - четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.
Что такое четырех угольник
Четырёхугольник - многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.
Четырехугольник - это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.
Виды четырехугольников
- Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
- Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
- Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
- Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
- Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.
Четырехугольник может быть:
Самопересекающимся
Невыпуклым
Выпуклым
Самопересекающийся четырехугольник - это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).
Невыпуклый четырехугольник - это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).
Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.
Особые виды четырехугольников
Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:
- Параллелограмм
- Прямоугольник
- Квадрат
- Трапеция
- Дельтоид
- Контрпараллелограмм
Четырехугольник и окружность
Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).
Главное свойство описанного четырехугольника:
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.
Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)
Главное свойство вписанного четырехугольника:
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.
Свойства длин сторон четырехугольника
Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.
|a - b| ≤ c + d
|a - c| ≤ b + d
|a - d| ≤ b + c
|b - c| ≤ a + d
|b - d| ≤ a + b
|c - d| ≤ a + b
Важно . Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.
В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .
Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:
- противоположные его углы равны;
- противоположные его стороны попарно равны;
- его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
- две его противоположные стороны параллельны и равны.
Доказательство:
A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN - параллелограмм.
B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF - параллелограмм.
C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM - параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.
D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.
А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR - параллелограмм.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников .
Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:
Схема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.
Трапеция - это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции , а не параллельные - боковыми сторонами .
1
. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне
равна 180°: А+В=180°, C+D=180°
2
. Биссектриса любого угла трапеции
отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне: 
3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.
4 .Трапеция называется равнобедренной , если ее боковые стороны равны:
В равнобедренной трапеции
5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Параллелограм
- это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны:
В параллелограмме:
- противоположные стороны и противоположные углы равны
- диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:
Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
или произведению сторон на синус угла между ними:
:
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны:
- противоположные углы равны
- диагонали точкой пересечения делятся пополам
- диагонали взаимно перпендикулярны
- диагонали ромба являются биссектрисами углов
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:
